Mathepunkte <- Mathe1 %>%
  inner_join(Mathe2, by = "Matrikelnummer") %>%
  mutate(diffM2M1 = Punkte_M2-Punkte_M1) %>%
  mutate(M1_Stand = zscore(Punkte_M1),
         M2_Stand = zscore(Punkte_M2))

Grafische Analyse

Univariate Punktverteilung der Klausurpunkte Mathematik 1 bzw. Mathematik 2.

gf_histogram( ~ Punkte_M1, data = Mathe1, binwidth = 3, boundary = 0) %>%
  gf_lims(x = c(0,60))

gf_histogram( ~ Punkte_M2, data = Mathe2, binwidth = 3, boundary = 0) %>%
  gf_lims(x = c(0,60))

Interessanterweise sind beide Verteilung eher linksschief, wobei beide eine leichte Bi-Modalität erkennen lassen.

Hinweis: Beide Klausuren sind (sehr) gut ausgefallen: die Verteilung der beiden Klausuren liegt über der jeweiligen langfristigen Verteilung.² Damit ist die Repräsentativität eingeschränkt und somit auch die externe Validität.³

Streudiagramm der Klausurpunkte derjenigen, die an beiden Klausuren teilnahmen:

gf_point(Punkte_M2 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte) %>%
  gf_smooth(se = TRUE) %>%
  gf_lims(x = c(0,60), y = c(0,60))

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'

Es ist ein positiver Zusammenhang erkennbar: Studierende mit vielen Punkten in Mathematik 1 haben tendenziell auch viele Punkte in Mathematik 2.

Betrachtet man den Zusammenhang der Differenz (d. h. der Veränderung Mathematik 2 zu Mathematik 1), so ergibt sich ein anderes Bild:

gf_point(diffM2M1 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte) %>%
  gf_smooth(se = TRUE) %>%
  gf_hline(yintercept = ~0) %>%
  gf_vline(xintercept = ~mean( ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte)) %>%
  gf_lims(x = c(0,60), y = c(-60,60))

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'

Es scheint einen negativen Zusammenhang zu geben: Studierende mit besonders wenigen Punkten in Mathematik 1 haben eine positive Differenz, Studierende mit vielen Punkten in Mathematik 1 haben eher eine geringere oder negative Punktedifferenz.

Kennzahlen

Die visuellen Eindrücke werden durch die Korrelationskoeffizienten bestätigt:

cor(Punkte_M2 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte)

## [1] 0.6506754

cor(diffM2M1 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte)

## [1] -0.4617351

Mathematik 2 einfacher als Mathematik 1?

Während die Vorlesung Mathematik 1 über 44 UE lief, lief Mathematik 2 über 32 UE. Spiegelt sich das mehr an Stoff auch in einem schlechteren Ergebnis wieder? Betrachtet wird dazu je Studierenden die individuelle Differenz: xdi=xMathematik 2i−xMathematik 1i

Für diese Variable Xd lautet dementsprechend die Nullhypothese, dass der Mittelwert μd=0 ist. Um dies zu überprüfen kann z. B. Bootstrapping verwendet werden.⁴

set.seed(1896)

BootvtlgDiff <- do(10000) * mean(~diffM2M1, data = resample(Mathepunkte))
gf_histogram( ~ mean, data = BootvtlgDiff)

confint(BootvtlgDiff)

Die 0 ist nicht im 95% Bootstrap Konfidenzintervall enthalten. Es gibt also Hinweise, dass in der Population die Mittelwerte abweichen. Da ˉxd>0 wurde im Mittelwert das bessere Ergebnis in Mathematik 2 erzielt.

Hinweis: Hier kann auch eine Selbst-Selektionsverzerrung vorliegen: Studierende mit schlechten Noten in Mathematik 1 könnten sich überlegt haben bei Mathematik 2 nicht anzutreten. Hier werden nur die analysiert, für die beide Punktzahlen vorliegen. Gleichwohl beeinflusst dies auch die beiden univariaten Ergebnisse (s.o.).

Zusammenhang Mathematik 1 und 2?

Eine lineare Regression, d. h.

zMathematik 2i=β1⋅zMathematik 1i+ϵi

ergibt:

erglm <- lm(M2_Stand ~ M1_Stand - 1, data = Mathepunkte)
plotModel(erglm)

summary(erglm)

## 
## Call:
## lm(formula = M2_Stand ~ M1_Stand - 1, data = Mathepunkte)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.17581 -0.49755 -0.02292  0.62215  1.69781 
## 
## Coefficients:
##          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## M1_Stand  0.65068    0.08095   8.038 3.87e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7594 on 88 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4234, Adjusted R-squared:  0.4168 
## F-statistic: 64.61 on 1 and 88 DF,  p-value: 3.872e-12

Ein Achsenabschnitt (β0) ist nicht nötig⁵, da die Variablen standardisiert wurden, d.h. der Mittelwert =0 ist.

42% der Variation der Punktzahl in Mathematik 2 können durch ein lineares Modell in dieser Stichprobe modelliert werden. Mit ^β1=0.65>0 zeigt sich: in der Stichprobe gibt es einen positiven linearen Zusammenhang zwischen den Punktzahlen Mathematik 1 und 2.

Gleichzeitig gilt aber: ^β1=0.65<1, d.h. dass die (Punkt-)Prognose für einen Studierenden mit z.B. zMathematik 1i=1>0 lautet ˆzMathematik 2i=0.65⋅1=0.65, also (relativ) schlechter, für einen mit z.B. zMathematik 1i=−1<0 lautet ˆzMathematik 2i=0.65⋅(−1)=−0.65, also (relativ) besser.

Ohne den Effekt der Regression zur Mitte, der bei wiederholter Messung immer auftritt wenn |ρ|<1 gilt, würde gelten (rote Linie):

plotModel(erglm) %>%
  gf_abline(intercept = ~0, slope = ~1, col="red")

Bootstrapping ergibt hier:

set.seed(1896)

Bootvtlg <- do(10000) *lm(M2_Stand ~ M1_Stand -1, data = resample(Mathepunkte))
gf_histogram( ~ M1_Stand, data = Bootvtlg)

confint(Bootvtlg)

Es gilt, dass das 95% Konfidennzintervall für β1 (M1_Stand) weder die 0 noch die 1 enthält.

Dies Phänomen sieht man auch, wenn man xd als lineares Modell von xMathematik 2i darstellt: xdi=β0+β1⋅xMathematik 1i+ϵi

erglm <- lm(diffM2M1 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte)
plotModel(erglm)

summary(erglm)

## 
## Call:
## lm(formula = diffM2M1 ~ Punkte_M1, data = Mathepunkte)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -23.826  -5.449  -0.251   6.813  18.592 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 17.72209    3.13465   5.654 1.96e-07 ***
## Punkte_M1   -0.37791    0.07783  -4.855 5.25e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 8.363 on 87 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2132, Adjusted R-squared:  0.2042 
## F-statistic: 23.57 on 1 and 87 DF,  p-value: 5.25e-06

Regression zur Mitte: es ergibt sich mit ^β1=−0.38<0 ein negativer Zusammenhang im Modell der Stichprobe (Beobachtungsdaten).